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艾奇的奖赏
推断颜色的思维活动
这个问题，从参加的3人变成4人，然后推及更多的人，它对于验证称为“数学归纳法”的有价值的技巧来说，是极好的介绍。当提供给你含有指令的声明时，它的应用就像通往成功的梯子。你首先要表明如果前边一个是真的，那么任何声明都是真的。如果第一个是真的，那么其它的也一定是真的。如果你爬上成功梯子的第一步，你就能爬到梯子顶部。或者，如果你开始于较高的梯层，你就能向上或向下爬往各处。
假定四人都得到了红帽子，均举起了手。设想他们当中的一人比其他人顿悟得更快，他或她就会这样推理：
“假定我的帽子是蓝色的，其他三人都将看到它是蓝的，因此，他们每个人将看到二顶红帽子，而不知自己的帽子的颜色。这和前面提及的三个人的情况一样。他们当中最终会有一个推断出他的帽子是红的。
“但是，假定推断用了足够长的时间，仍没一人推断出自己帽子的颜色，那只有一个原因，就是他们都看到我的帽子也是红的。因此，我前边的假定就是错误的，我的帽子一定是红色的。”
这推论可引发几个人的推理过程。如果有5个戴红帽子的人，最聪明的一个将看到4顶红帽子，意识到在足够的时间里，其他4人中会有一人按上面的方式推断，并得知他或她的帽子是红的。但如果没有人能这样做，就将表明他(或她)的帽子也一定是红的。同样可以此类推许多人。在几个人中最聪明的那个人，总能把情况简化到再前一种情况，第二个人又进一步简化到前一种情况，以此类推到三个人的情况，问题就解决了。
一般问题能引起如下有趣的争论，如是否能明确确定?或者是否所给的条件太模糊不清而不能引出明确的答案?做什么样的假设能使一般的解释站得住脚?这几个人的推理能力是否必须形成层次?是否需要假定当增加到n个人时，判断他(或她)的帽子是红色的时间也增长了?如果有100人，过了很长时间，最聪明的一个人知道了他(或她)的帽子是红的，然后又过了一段时间，第二个聪明的人也知道了，以此类推，直到最后一个最不聪明的男人或女人，这种说法是否正确?
有无数个类似帽子问题的变体。这是其中之一，它能说明在插入二种以上颜色的帽子时，问题是如何变得复杂化的。假定有五个人，从五顶白色，二顶红色和二顶黑色的帽子中选五顶给他们戴，如果所选的均是白色的，最聪明的那个人将如何推断出他的帽子是白色的呢?
这个在原有二种颜色基础上的涉及三个人的精彩变体排除了所有的模糊点。假设三个人坐在三把椅子上，一个排在一个后面，并朝着同一方向。坐在最后的人只能看到前面两人的帽子，中间的人只能看到前面那人的帽子，而坐在最前面的人则看不到任何人的帽子。想像这些人“瞎”的程度是递增的，而前面人完全“瞎”。
裁判员从三顶白色和二顶黑色的帽子中挑出三顶，在给他们戴上帽子并收藏起剩余帽子后才准许他们睁开眼睛。
裁判员问最后一个人是否知道自己帽子的颜色，他回答说：“不知道。”
中间人在回答同样问题时，也说“不知道。”
当问到最前面的人时，他回答说：“知道，我的帽子是白色的。”他是怎样推断出的?
他的推理如下：“坐在最后的人，若看到两顶黑帽子，就会说知道。他回答‘不知道’，就证明他看到的两顶帽子不全是黑的。假定现在我的帽子是黑的，那坐在中间的人就会看到一顶黑帽子，在他听到后边的人说‘不知道’时，他就会知道自己的帽子是白的，而在其他情况下，他将看到两顶黑帽子而说‘知道’。因此，坐在中间的人就会说‘知道’。但事实上，他说‘不知道’，这就证明了中间的人看到我戴的是白帽子，因此，我原来的假设不成立，我的帽子应是白色的。”
像上述变体一样，这个归纳也一样容易，通过数学归纳法推论出n个递增的“瞎子”的情况。这n个人分别坐在同一排的椅子上，由后向前对他们依次提问。可供选择的帽子是n顶白色和n-1顶黑色的。考察n=4时的情况，坐在最前面的“瞎人”知道，如果他的帽子是黑的，那他后面的三个人必将看到，并知道给他们留下的帽子中只有二顶是黑的。这是第一种情况的判断。如果前面二人说“不知道”，那么第三个人(即紧跟在瞎人后面的人)可能会说“知道”，像前述的情况一样。但如果他说“不知道”，就向坐在最前面的“瞎人”证明他的假设是错误的，他的帽子一定是白色的。数学归纳法可扩展到涉及几个人的验证。如果除了“瞎人”以外所有的人都做出否定的回答，那么所有人戴的帽子都是白色的。
现在有个更难的问题问你。假定在涉及三个人的情况下，裁判员从三顶白色，二顶黑色的帽子中任选三顶给他们，像前面那样由后向前依次对他们提问，他们中有一人总会做出肯定的回答吗?你可能很高兴解决了这道题，并证实这个结论可归纳出涉及n个人，n顶白帽子和n-1顶黑帽子的情况。有人总会做出肯定的回答，第一个做出肯定回答的人总是自己戴着白帽子又没看到前面人戴白帽子的人。
两种颜色的帽子与标有O和1(二进制记数法中的整数)的帽子是等同的。有许多涉及二种以上颜色的帽子问题(恰如早先给过的问题)，但是如果我们用正整数代替帽子的颜色，理解这些问题就比较容易了。考虑一下下面由两个人参加游戏的例子。
裁判员任选了一对连续的正整数，把标有其中一个数字的圆盘贴在一个人的额头上，把标有另一个数字的圆盘贴在另一个人的额头上，每人只能看到对方的数字，而看不到自己的数字。两人都很诚实且具推理能力。
裁判员问每个人是否知道自己的号码，这个问题连续追问直到有人说“知道”为止。利用数学归纳法，你可以证明如果两个数中较大的数是n，一个人在回答n或n-1个问题时将说“知道”。这个证明是从考虑最简单的情况即数字1和2开始的。额头上有数字2的人将在回答第一个或第二个问题时说“知道”(这取决于谁第一个被问)，因为看到1号后，他知道自己是2号。
现在考虑数字2和3的情况。当第一次向3号提问时，他将说“不知道”，因为他可能是1也可能是3。假定他是1号，在那种情况下2号会说“知道”(像前面的例子一样)。当然，如果他说“不知道”，这就向第一个人证实他的数字是3，而不是1，因此当第二次向他提问时，他将说“知道”，这就向第一个人证实他的数字是3，而不是1，因此当第二次向他提问时，他将说“知道”。正如帽子问题一样，这个推理过程将推广到任何一对连续的数字的情况。
为了得到一个完整的答案，你必须准确知道一个参加者将在什么时候对第n个问题做出肯定回答，什么时候对第n-1个问题做出肯定的回答。你将发现这取决于先向哪个人提问以及n是奇数还是偶数。
最近剑桥大学著名的数学家约翰·霍顿·康韦研究出一个更加迷惑人的推论。同上述情况一样，把标有数字的圆盘分别贴在n个人的额头上，这些数字可以是任何一组正整数，这些正整数的和与写在一块黑板上的n个或少于n个数目中的一个数字相同。黑板上的数字彼此不同，假设参加者有无穷的智慧且诚实过人，他们每人除看不到自己额头上的圆盘外，能看到所有的圆盘，以及黑板上的所有数字。
向第一个人提问，问他是否能推断出他额头上的数字，如果他说“不知道”，那就再问第二个人，这问题将在参加者中循环进行，直到有人说“知道”为止。康韦断言不论这个问题看来是多么不可思议，但这种提问总是能以得到肯定回答而告终。
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